Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側(cè)面PAD與底面ABCD垂直，E為PA的中點(diǎn)．

（1）求證：

（2）求證：DE∥平面PBC；

Answer 1

證明：（1）∵AD⊥AB，CD∥　AB，

∴　　　　　　　　　　　　　　　

又∵側(cè)面PAD與底面ABCD垂直且交線為ＡＤ，

∴ＣＤ垂直側(cè)面PAD　　　　　　　　　　　　　

又∵ＰＡ平面ＰＡＤ　　　∴　　　　

(2)如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接DF，EF．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以，

所以四邊形BCDF為平行四邊形，所以DF∥BC

又∵ＢＣ平面ＰＢＣ，ＤＦ平面ＰＢＣ

∴DF∥平面PBC.

在△PAB中，PＥ=EA，AF=FB，　所以EF//PB．

又∵ＰＢ平面ＰＢＣ，ＥＦ平面ＰＢＣ

∴ＥF∥平面PBC.

又因?yàn)镈FEF=F，

所以平面DEF∥平面PBC.　　　　　　　　　　　　　

因?yàn)镈E平面DEF，所以DE∥平面PBC．　　　　　

證法二：�。校碌闹悬c(diǎn)Ｍ，邊ＣＭ，ＥＭ

在△PAB中，PＥ=EA，ＰＭ=ＭＢ，　所以EＭ//ＡＢ，ＥＭ＝ＡＢ

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以ＣＤ＝ＡＢ，CD∥AB

所以

所以四邊形ＣＤＥＭ為平行四邊形，所以ＤＥ∥ＣＭ．　　

又因?yàn)椋茫?sub>平面ＰＢＣ，ＤＥ平面ＰＢＣ

所以DE∥平面PBC