Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-，0），由-≤0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的
交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得 b＜； ③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1-．結(jié)合所給的選項(xiàng)，綜合可得結(jié)論．
解答：解：由題意可得，三角形ABC的面積為 =1，
由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（-，0），由-≤0，可得點(diǎn)M在射線OA上．
設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為 N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．
①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，則-=-1，且=，解得a=b=．
②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，則點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即 =，
即 =，解得a=＞0，故有 b＜．
③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則-＜-1，故b＞a．設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為P，
則由 求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
此時(shí)，NP==
==•．
此時(shí)，點(diǎn)C（0，1）到直線y=ax+b的距離等于 ．
由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 •••=．
化簡可得2（1-b）²=|a²-1|．
由于此時(shí) b＞a＞0，∴2（1-b）²=|a²-1|=1-a² ．
兩邊開方可得 （1-b）=＜1，∴1-b＜，化簡可得 b＞1-．
綜合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞1-，即b的取值范圍是 ，
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查確定直線的要素，點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考察運(yùn)算能力以及
綜合分析能力，屬于難題．