Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對(duì)于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下條件：
①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂；④x₁+x₂＜0；⑤x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號(hào)是②．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x²-cosx為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，從面臨是到函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為單調(diào)增函數(shù)，在[-$\frac{π}{2}$，0]上為減函數(shù)．由此能求出結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-cosx為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，
當(dāng)0＜x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上為單調(diào)增函數(shù)，
由偶函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在[-$\frac{π}{2}$，0]上為減函數(shù)．
當(dāng)x₁²＞x₂²時(shí)，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
由函數(shù)f（x）在上[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為偶函數(shù)得f（x₁）＞f（x₂），故②成立；
∵$\frac{π}{3}$＞-$\frac{π}{3}$，而f（$\frac{π}{3}$）=f（-$\frac{π}{3}$），
∴①不成立，同理可知③和⑤均不成立；
∵取x₁=-$\frac{π}{3}$，x₂=-$\frac{π}{2}$，滿足x₁+x₂＜0，但f（x₁）＜f（x₂），故④不成立．
故能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號(hào)②．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查能使不等式恒成立的條件的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．