【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形,DE=2BF=2,平面BFED⊥平面ABCD. (Ⅰ)求證:AD⊥平面BFED;
(Ⅱ)在線段EF上是否存在一點P,使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 .若存在,求出點P的位置;若不存在,說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠BCD=120°,
∴故 AB=2,
∴BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos60°=3,
∴AB2=AD2+BD2
∴BD⊥AD,
∵平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,
∴AD⊥平面BFED.
(Ⅱ)∵AD⊥平面BFED,∴AD⊥DE,
以D為原點,分別以DA,DE,DE為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0, ,0),P(0,λ, ),
=(﹣1, ,0), = .
取平面EAD的一個法向量為 =(0,1,0),
設平面PAB的一個法向量為 =(x,y,z),
由 =0, =0得: ,取y=1,可得 =( ).
∵二面角A﹣PD﹣C為銳二面角,平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為 .
∴cos< = = = ,
解得λ= ,即P為線段EF的3等分點靠近點E的位置
【解析】(Ⅰ)推出AB=2,求解AB2=AD2+BD2 , 證明BD⊥AD,然后證明AD⊥平面BFED.(Ⅱ)以D為原點,分別以DA,DE,DE為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,求出相關(guān)點的坐標,求出平面EAD的一個法向量,平面PAB的一個法向量,利用向量的數(shù)量積,轉(zhuǎn)化求解即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想才能得出正確答案.
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【題目】已知函數(shù),集合.
(1)當時,解不等式;
(2)若,且,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,若函數(shù)的定義域為,求函數(shù)的值域.
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【題目】若關(guān)于x的不等式xex﹣2ax+a<0的非空解集中無整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[ , )
B.[ , )
C.[ ,e]
D.[ ,e]
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【題目】如果數(shù)列,,,(,且),滿足:①,;
②,那么稱數(shù)列為“”數(shù)列.
()已知數(shù)列,,,;數(shù)列,,,,.試判斷數(shù)列,是否為“”數(shù)列.
()是否存在一個等差數(shù)列是“”數(shù)列?請證明你的結(jié)論.
()如果數(shù)列是“”數(shù)列,求證:數(shù)列中必定存在若干項之和為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與圓相切,求的值;
(2)若函數(shù)在上存在極值,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.
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【題目】已知關(guān)于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集為R. (Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=m,求4a2+9b2+c2的最小值及此時a,b,c的值.
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【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動,有甲,乙兩個抽獎方案供員工選擇. 方案甲:員工最多有兩次抽獎機會,每次抽獎的中獎率均為 ,第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束,若中獎,則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎,規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎金,不進行第二次抽獎;若正面朝上,員工則須進行第二次抽獎,且在第二次抽獎中,若中獎,則獲得1000元;若未中獎,則所獲得獎金為0元.
方案乙:員工連續(xù)三次抽獎,每次中獎率均為 ,每次中獎均可獲得獎金400元.
(Ⅰ)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X(元)的分布列;
(Ⅱ)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎,哪個方案更劃算?
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,E,M分別是AD,PD的中點,PE⊥BE,PA=PD=AD=2,AB=.
(1)求證:PB∥平面MAC.
(2)求證:平面MAC⊥平面PBE.
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