Question

1．已知F₁、F₂是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，則橢圓的離心率$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合橢圓定義求得|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2a}{3}$，又∠PF₁F₂=30°，在△F₁PF₂中，由余弦定理列式求得橢圓的離心率．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a，且|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2a}{3}$，又∠PF₁F₂=30°，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：$（\frac{2a}{3}）^{2}=（\frac{4a}{3}）^{2}+4{c}^{2}-2•\frac{4a}{3}•4c•cos30°$，
整理得：$3{c}^{2}-4\sqrt{3}ac+{a}^{2}=0$，即$3{e}^{2}-4\sqrt{3}e+1=0$．
解得：$e=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$（舍），或$e=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓定義及余弦定理的應用，是中檔題．