Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x．
（Ⅰ）若x＞1，求證：；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)k的取值范圍，使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

解：（Ⅰ）令=，．
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0 恒成立，∴F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∵F（x）在x=1 處連續(xù)，∴F（x）＞F（1）．
∵F（1）=0，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0 恒成立．
∴．
（Ⅱ）原方程化為，
令，則．
∵G（-x）=G（x），∴G（x）是偶函數(shù)．
當(dāng)x≥0時(shí)，（x≥0），
則=．
∵x≥0，∴令G'（x）=0，得x=1．
當(dāng)x∈[0，1），G'（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞），G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增．
∴x≥0時(shí)，在x=1處G（x）取得極小值為G（1）=．
又G（0）=0，∴當(dāng)k∈（，0）時(shí)函數(shù)（x≥0）與y=k 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
∵G（x）是偶函數(shù)，
∴G（x）=k在k∈（，0）時(shí)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
分析：（Ⅰ）先令=，求導(dǎo)數(shù)得到．
利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得出F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．F（x）＞F（1）．從而證得結(jié)論；
（Ⅱ）原方程化為，令，則．
利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可解決問題．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．