Question

15、如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，B₁D∩平面A₁BC₁=P．
求證：P∈BO₁．

Answer 1

分析：求證點在一條直線上，要順藤摸瓜．首先看這個點在題目已知條件中在什么位置，然后再一步步地推導．此題中點P在直線B₁D和平面A₁BC₁上，直線B₁D在平面BB₁D₁D上，所以點P也在平面BB₁D₁D上，則點P應該在平面A₁BC₁和平面BB₁D₁D的交線上，即點P在直線BO₁上．

解答：證明：在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁D∩平面A₁BC₁=P，∴P∈平面A₁BC₁，P∈B₁D．
∵B₁D?平面BB₁D₁D．∴P∈平面A₁BC₁，且P∈平面BB₁D₁D．
∴P∈平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，B₁D₁?平面BB₁D₁D，
∴O₁∈平面A₁BC₁，且O₁∈平面BB₁D₁D．
又B∈平面A₁BC₁，且B∈平面BB₁D₁D，
∴平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D=BO₁．∴P∈BO₁．

點評：一般地，要證明一個點在某條直線上，只要證明這個點在過這條直線的兩個平面上．