Question

12．已知正方形ABCD，E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；
（2）將圖①中的△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②，取DF的中點G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）將圖①中的△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③，再連接相應(yīng)的線段，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．
（2）猜想：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG；連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．
（3）結(jié)論依然成立．

解答 （1）證明：在Rt△FCD中，∵G為DF的中點，∴CG=$\frac{1}{2}$FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=$\frac{1}{2}$FG，∴CG=EG；----------------------------------------------（3分）
（2）猜想：（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG；
連接AG，過G點作GK⊥AD于K，在△DAG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG，G為DF中點．易證K為AE中點，∴AG=EG，
∴CG=EG------------------（7分）

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG，其他的結(jié)論還有：EG⊥CG．----------------------（11分）

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．