Question

某電視臺(tái)舉辦“青工技能大賽”，比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個(gè)問題，兩個(gè)問題全解決方可進(jìn)入下一關(guān)，第三關(guān)有三個(gè)問題，只要解決其中的兩個(gè)問題，則闖關(guān)成功．每過一關(guān)可依次獲得100分、300分、500分的積分．小明對三關(guān)中每個(gè)問題正確解決的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，且每個(gè)問題正確解決與否相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率；
（Ⅱ）用X表示小明的最后積分，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)事件A=“小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)”，第一關(guān)第i個(gè)問題正確解決為事件A_i（i=1，2），第二關(guān)第i個(gè)問題正確解決為事件B_i（i=1，2），由P（A）=P（A₁）•P（A₂）•（1-P（B₁）•P（B₂））能求出小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率．
（Ⅱ）由題意知：X∈{0，100，400，900}．分別求出其對應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A=“小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)”，
第一關(guān)第i個(gè)問題正確解決為事件A_i（i=1，2），
第二關(guān)第i個(gè)問題正確解決為事件B_i（i=1，2），
則P(A1)=P(A2)=

4

5

，P(B1)=P(B2)=

3

4

．
又∵A=A1•A2•(

.

B1

•

.

B2

+B1•

.

B2

+

.

B1

•B2)，
∴P（A）=P（A₁）•P（A₂）•（1-P（B₁）•P（B₂））
=(

4

5

)2×[1-(

3

4

)2]=

7

25

．…（5分）
（Ⅱ）由題意知：X∈{0，100，400，900}．
P(X=0)=1-(

4

5

)2=

9

25

，P(X=100)=

7

25

．…（7分）P(X=400)=(

4

5

)2×(

3

4

)2×[(

1

3

)3+

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2]=

7

75

，
P(X=900)=1-

9

25

-

7

25

-

7

75

=

4

15

．…（9分）
∴X的分布列為

X	0	100	400	900
P	9 25	7 25	7 75	4 15

E(X)=0×

9

25

+100×

7

25

+400×

7

75

+900×

4

15

=

916

3

． …（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．