Question

如圖，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點，AO⊥平面A₁B₁C₁.已知∠BCA＝90°，AA₁＝AC＝BC＝2.

(1)證明：OE∥平面AB₁C₁；

(2)求異面直線AB₁與A₁C所成的角；

(3)求A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

　解法1：(1)證明：∵點O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點，∴OE∥AC₁，

又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，

∴OE∥平面AB₁C₁.

(2)∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，

又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO＝O，

∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁.

又∵AA₁＝AC，∴四邊形A₁C₁CA為菱形，

∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁＝C₁，

∴A₁C⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁C，

即異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°.

(3)∵O是A₁C₁的中點，AO⊥A₁C₁，∴AC₁＝AA₁＝2，

又A₁C₁＝AC＝2，∴△AA₁C₁為正三角形，

∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A₁B₁＝AB＝2，

設(shè)點C₁到平面AA₁B₁的距離為d，

∵VA－A₁B₁C₁＝VC₁－AA₁B₁，

即·(·A₁C₁·B₁C₁)·AO＝·S△AA₁B·d.

又∵在△AA₁B₁中，A₁B₁＝AB₁＝2，

∴S△AA₁B₁＝，∴d＝，

∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值為.

解法2：∵O是A₁C₁的中點，AO⊥A₁C₁，∴AC＝AA₁＝2，又A₁C₁＝AC＝2，∴△AA₁C₁為正三角形，∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A₁B₁＝AB＝2，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A(0,0，)，A₁(0，－1,0)，E(0，－，)，C₁(0,1,0)，B₁(2,1,0)，C(0,2，)．

(1)∵，

∴，即OE∥AC₁，

又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，

∴OE∥平面AB₁C₁.

(2)∵＝(2,1，－)，＝(0,3，)，

∴＝0，即∴AB₁⊥A₁C，

∴異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°.

(3)設(shè)A₁C₁與平面AA₁B₁所成角為θ，

設(shè)平面AA₁B₁的一個法向量是n＝(x，y，z)，

則

不妨令x＝1，可得n＝(1，－1，)，

∴sinθ＝cos＝，

∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值為.

[點評]　注意直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對值是線面角的正弦值，而不是余弦值．