Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b為常數(shù)．若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,幾何概型

專題：導數(shù)的綜合應用,概率與統(tǒng)計

分析：這是一個幾何概型問題，我們可以先畫出a∈[0，4]，b∈[0，3]，對應的平面區(qū)域的面積，然后再求出滿足條件函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)時對應的平面區(qū)域的面積，計算出對應的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．

解答： 解：f'（x）=x²-2（a-1）x+b²
若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則對于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a-1）²-4b²≤0，即（a+b-1）（a-b-1）≤0
設“f（x）在R上是增函數(shù)”為事件A，則事件A對應的區(qū)域為{（a，b）|（a+b-1）（a-b-1）≤0}
全部試驗結果構成的區(qū)域{Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，如圖．
所以，P（A）=

s陰影

sΩ

=

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

．
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率為

7

12

，
故答案為

7

12

．

點評：這是一個幾何概型的概率題，本題的關鍵是找到事件A對應的區(qū)域和試驗的全部結果，根據(jù)幾何概型公式就可以算出結果．