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【題目】已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線．

（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點， ，且，證明： ．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）證明過程見解析；

【解析】（Ⅰ）首先根據(jù)兩函數(shù)在某點處有相同的切線，建立關于兩函數(shù)解析式中參數(shù)的方程，求得兩函數(shù)的解析式，再由題意構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性與最值問題進行求解；（Ⅱ）由題意，可將問題轉(zhuǎn)化為其導數(shù)的兩個根，再根據(jù)其函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式立.

試題解析：（Ⅰ）因為， ，根據(jù)題意，得解得

所以．　

設，則，

當時， ，當時， ，

所以，

又因為→時， →；當→時， →，

故欲使兩圖象有兩個交點，只需， ，

所以實數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，函數(shù)，其定義域為，

，

令，得，其判別式，

函數(shù)有兩個極值點， ，等價于方程在內(nèi)有兩不等實根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

則，

由于，∴，故在上單調(diào)遞減．

故．

所以，

所以．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于、兩點，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點為，問、兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人），如莖葉圖所示，其中一個數(shù)字被污損．

(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率；

(2)隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識學習積累的熱情，從中獲益匪淺．現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均學習成語知識的時間(單位：小時)與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示），

年齡x（歲）

20

30

40

50

周均學習成語知識時間y（小時）

2.5

3

4

4.5

由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程y=bx+a，并預測年齡為50歲觀眾周均學習成語知識時間．

參考公式：a=y-bx．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某教研機構(gòu)隨機抽取某校20個班級，調(diào)查各班關注漢字聽寫大賽的學生人數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成時，所作的頻率分布直方圖如圖所示，則原始莖葉圖可能是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】男女共名同學從左至右排成一排合影，要求左端排男同學，右端排女同學，且女同學至多有人排在一起，則不同的排法種數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 滿足 （其中 ， ）．

（1）求 的表達式；

（2）對于函數(shù) ，當 時， ，求實數(shù) 的取值范圍．

（3）當 時， 的值為負數(shù)，求 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，右焦點，過點的直線交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點關于軸的對稱點為 ，求證: 三點共線；

(3) 當面積最大時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)的極值點；

（3）令， ，設， ， 是曲線上相異三點，其中.求證： .

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