Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

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3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)記為f'（x），則下列結(jié)論正確的是

①②③④⑤

．（填序號）
①-

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3

是方程f'（x）=0的根；②1是方程f'（x）=0的根；③有極小值f（1）；④有極大值f(-

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3

)； ⑤a=-

1

2

．

Answer 1

分析：對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=3x²+2ax-2，由題意可得f′（1）=0，則可得a=-

1

2

可判斷⑤
f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）可判斷①②
由函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

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3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，可判斷③
由函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

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3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞），(-∞，-

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3

)上單調(diào)遞增可判斷④

解答：解：∵f′（x）=3x²+2ax-2
由函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

2

3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
可知f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-

1

2

∴f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
①x=-

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是方程的根，正確
②x=1是方程的根，正確
③由函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

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，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，可知x=1是函數(shù)的極小值，③正確
④令f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，可得x＞1或x＜-

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f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＜0可得，-

2

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＜x＜1
則函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5在(-

2

3

，1)上單調(diào)遞減，在（1，+∞），(-∞，-

2

3

)上單調(diào)遞增，故x=-

2

3

為函數(shù)的極大值，④正確
⑤正確
故答案為：①②③④⑤

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極大與及小值，及函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的方程的根的關(guān)系的應(yīng)用．