Question

（2012•安慶二模）如圖所示，多面體FE-ABCD中，ABCD和ACFE都是直角梯形，DC∥AB，AE∥CF，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CF=2AE=

1

2

AB，∠ACF=∠ADC=

π

2

．
（I）求證：BC⊥平面ACFE；
（II）求二面角B-FE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明BC⊥AC，利用平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，可證BC⊥平面ACFE；
（II）建立空間直角坐標系，利用向量的運算求出平面DEF、平面BEF的一個法向量，進而由兩個法向量求出二面角余弦值的大小．

解答：（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，∵∠ADC=

π

2

，又AD=DC=

1

2

AB，∴BC⊥AC，…（2分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACFE；…（4分）
（Ⅱ）解：以A為原點，分別以AB、AD、AE為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設AE=a，則D（0，2a，0），B（4a，0，0），E（0，0，a），F(xiàn)（2a，2a，2a），…（6分）
設

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)，

n1

⊥平面BEF，

n2

⊥平面DEF，

EB

=(4a，0，-a)，

EF

=(2a，2a，a)，

DE

=(0，-2a，a)
則

n1 • EF =2ax1+2ay1+az1=0 n1 • EB =4ax1-az1=0

，令x₁=1，∴

x1=1 y1=-3 z1=4

，
∴

n1

=(1，-3，4)…（8分）
由

n2 • EF =2ax2+2ay2+az2=0 n2 • DE =-2ay2+az2=0

，令y₂=1，∴

x2=-2 y2=1 z2=2

，∴

n2

=(-2，1，2)…（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

26

26

，
故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是

26

26

．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，進而便于幾何體的線面關系以及建立坐標系利用向量解決空間角與空間距離的問題