Question

已知函數(shù)f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）化簡函數(shù)的解析式將其寫成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及函數(shù)圖象的對稱中心；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的解析式將其寫成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，正弦函數(shù)的對稱中心求解函數(shù)圖象的對稱中心；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求出函數(shù)相位的范圍，推出函數(shù)的值域，利用f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，列出方程組求實(shí)數(shù)a，b的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b
=

1

2

asin2x-

3

a

1+cos2x

2

+

3

2

a+b
=asin（2x-

π

3

）+b （4分）
（2）令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[-

π

12

+kπ，kπ+

5π

12

]， k∈Z． （6分）
令 2x-

π

3

=kπ，解得x=

π

6

+

kπ

2

，
∴函數(shù)圖象的對稱中心為(

π

6

+

kπ

2

，b)，k∈Z，（8分）
（3）∵當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
故-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1 （10分）
f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，
又∵a＞0，∴

a+b= 3 - 3 2 a+b=-2

解得

a=2 b= 3 -2

  （12分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角以及兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的基本性質(zhì)的考查．