Question

已知△ABC為正三角形，點(diǎn)A，B為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)C為橢圓一頂點(diǎn)，則該三角形的面積與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積之比為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，依題意可求得對(duì)應(yīng)的橢圓的短半軸，長(zhǎng)半軸及焦距，從而可求得該三角形的面積與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積之比．
解答：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，以AB所在的邊為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
則以A，B為橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)C為橢圓一頂點(diǎn)的橢圓的方程為：+=1，（a＞b＞0）．
依題意，a=2，c=1，
∴b==，
∴橢圓的方程為：+=1，
∴橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積S=×2a×2b=2ab=4；
又S_△ABC=|AB|•|AC|•sin60°=，
∴該三角形的面積與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)連成的菱形的面積之比為=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的能力，求得橢圓的短半軸，長(zhǎng)半軸及焦距是關(guān)鍵，屬于中檔題．