Question

在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（Ⅰ）求直線(xiàn)AP與平面BCC₁B₁所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（Ⅱ）設(shè)O點(diǎn)在平面D₁AP上的射影是H，求證：D₁H⊥AP；
（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面ABD₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：本題宜建立空間坐標(biāo)系，用空間向量來(lái)解決求線(xiàn)面角證線(xiàn)線(xiàn)垂直，求點(diǎn)到面 距離．
（Ⅰ）由題設(shè)條件，連接AC，即可得出AP與平面BCC₁B₁所成的角為∠PAC，求出線(xiàn)的方向向量與面的法向量，用公式求出線(xiàn)面角的正弦．
（Ⅱ）由圖形及題設(shè)條件可以證得AP⊥面D₁OH，由線(xiàn)面垂直證得母線(xiàn)線(xiàn)垂直，求出兩線(xiàn)．
（Ⅲ）用向量法求點(diǎn)到面的距離，求線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量在面的法向量的投影的長(zhǎng)度即可．
解答：解：建立如圖的空間坐標(biāo)系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），
D（0，0，4），B（4，4，0）
（1）如圖，連接PB，由正方體的性質(zhì)知∠APB即為所求的線(xiàn)面角，∵CC₁=4CP∴CP=1，由勾股定理知BP=，
∴tan∠APB===
∴
（2）證明：由已知OH⊥面APD₁，∴OH⊥AP，
連接B₁D₁，由于O是上底面的中心，故O∈B₁D₁，
由正體的性質(zhì)知B₁D₁⊥面AC₁，
又AP?面AC₁，
∴B₁D₁⊥AP
又B₁D₁∩OH=0
∴AP⊥面D₁OH，
∴D₁H⊥AP
（3）如圖=（0，4，0），=（-4，0，4）=（-4，4，1）
令面ABD₁的法向量為=（x，y，z）
故有，即
令x=1，則z=1，故=（1，0，1）
故點(diǎn)P到面面ABD₁的距離d==
點(diǎn)P到面面ABD₁的距離為
點(diǎn)評(píng)：本考點(diǎn)是立體幾何，對(duì)三個(gè)問(wèn)題其中前兩個(gè)問(wèn)題用幾何法證明較易，故采用了幾何法，而第三個(gè)問(wèn)題點(diǎn)到面的垂線(xiàn)段不易做出，故采用了向量法求點(diǎn)到面的距離，在做題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目的條件靈活選用解題的方法．