Question

下列說法：
①函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-3)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1）；
②若函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽且滿足f（1-x）=f（x+1），則它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的值域?yàn)椋?1，1）；
④函數(shù)y=|3-x²|的圖象和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值可能是0，2，3，4；
⑤若函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

5

，3]．
其中正確的序號(hào)是

③④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的解析式無意義可判斷①；根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性，可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，可判斷②；畫出函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象分析出函數(shù)的值域，可判斷③；畫出函數(shù)y=|3-x²|的圖象，可分析出函數(shù)y=|3-x²|的圖象和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷④；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析出函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，可判斷⑤．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，x²-2x-3=-3，此時(shí)log

1

2

(x2-2x-3)無意義，故①錯(cuò)誤；
若函數(shù)y=f（x）滿足f（1-x）=f（x+1），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；
畫出函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的圖象如圖，由圖可得函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）；
畫出函數(shù)y=|3-x²|的圖象，由圖可知，函數(shù)y=|3-x²|的圖象和直線y=a公共點(diǎn)可能是0，2，3，4個(gè)，故④正確
若f（x）在x∈[1，3]上有零點(diǎn)，則f（x）=0在x∈[1，3]上有實(shí)數(shù)解
∴2a=x+

5

x

在x∈[1，3]上有實(shí)數(shù)解
令g（x）=x+

5

x

則g（x）在[1，

5

]單調(diào)遞減，在（

5

，3]單調(diào)遞增且g（1）=6，g（3）=

14

3

，∴2

5

≤g（x）≤6，即2

5

≤2a≤6，故

5

≤a≤3故⑤正確
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的值域，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)內(nèi)容的綜合應(yīng)用，難度中檔．