Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（b+1）x+1是定義在[a-2，a]上的偶函數(shù)，g（x）=f（x）+|x-t|，其中a，b，t均為常數(shù)．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）試討論函數(shù)y=g（x）的奇偶性；
（3）若-

1

2

≤t≤

1

2

，求函數(shù)y=g（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,二次函數(shù)的性質

專題：

分析：（1）利用偶函數(shù)的性質可得：

a-2+a=0 b+1=0

，解出即可．
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義即可得出；
（3）去掉絕對值符號，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+（b+1）x+1是定義在[a-2，a]上的偶函數(shù)，
∴

a-2+a=0 b+1=0

，
解得

a=1 b=-1

．
（2）由（1）可得f（x）=x²+1
得g（x）=f（x）+|x-t|=x²+|x-t|+1，x∈[-1，1]．
當t=0時，函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)．）
當t≠0時，函數(shù)y=g（x）為非奇非偶函數(shù)．
（3）g（x）=f（x）+|x-t|=

x2+x-t+1，x≥t x2-x+t+1，x＜t

，-

1

2

≤t≤

1

2

，
當x≥t時，函數(shù)y=g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，則g（x）≥g（t）=t²+1．
當x＜t時，函數(shù)y=g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，則g（x）＞g（t）=t²+1．
綜上，函數(shù)y=g（x）的最小值為t²+1．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的單調(diào)性、絕對值的意義，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．