Question

【題目】已知向量 =（cos2x， sinx）， =（1，cosx），函數(shù)f（x）=2 +m，且當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，f（x）的最小值為2．
（1）求m的值，并求f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）2]﹣f（x），x∈[0， ]，求g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（cos2x， sinx）， =（1，cosx），

∴f（x）=2 +m

=2cos2x+2 sinxcosx+m

=cos2x+ sin2x+m+1

=2sin（2x+ ）+m+1，

又x∈[0， ]，

∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，

∴f（x）的最小值為m+2=2，解得m=0；

∴f（x）=2sin（2x+ ）+1；

令2x+ =kπ+ ，k∈Z，

得f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x= + ，k∈Z；

（2）解：由（1）知x∈[0， ]時(shí)，

sin（2x+ ）∈[ ，1]，f（x）∈[2，3]；

設(shè)f（x）=t，則y=g（t）=t2﹣t，t∈[2，3]，

∴t=3時(shí)y取得最大值6；

即函數(shù)g（x）的最大值為6．

【解析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角恒等變換公式，即可求出結(jié)果；（2）求出f（x）的值域，再用換元法計(jì)算設(shè)f（x）=t，求y=g（t）的最大值即可．