Question

21．（本題滿分12分）

已知實(shí)數(shù)為常數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)A，求實(shí)數(shù)值；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

求證：，②求證：.

Answer 1

（1）,(2)證明見(jiàn)解析；

【解析】

試題分析：已知曲線在某點(diǎn)的切線過(guò)點(diǎn)A，應(yīng)先求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)直線方程，又過(guò)點(diǎn)A，滿足直線方程，求出A；第二步①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)說(shuō)明有兩個(gè)不等實(shí)根，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的圖象與x軸何時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，在上研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，經(jīng)過(guò)對(duì)A的分類(lèi)討論發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A<0時(shí)，先減后增有極大值，當(dāng)極大值大于零時(shí)，的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，解出A的范圍，問(wèn)題獲得證明；②借助①的結(jié)論當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，通過(guò)列表觀察的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性，由于，而在上為增函數(shù)，說(shuō)明，即，問(wèn)題得證；

試題解析：（Ⅰ）【解析】
由已知:,切點(diǎn)，

切線方程:,把代入得:

（Ⅱ）①證明：依題意:有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè) 則:

(ⅰ)當(dāng)時(shí):,所以是增函數(shù),不符合題意;

(ⅱ)當(dāng)時(shí):由得:

列表如下:

		0
	↗	極大值	↘

=,解得:

② 證明： 由①知:變化如下:

		0	+	0
	↘	極小值	↗	極大值	↘

由表可知:在上為增函數(shù),又 ,故

所以：

即，．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用