Question

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小；
（Ⅲ）求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CD⊥AB′，可先證CD⊥平面ABB′A′，欲證CD⊥平面ABB′A′，可根據(jù)平面ABC與平面ABB′A′垂直的性質(zhì)定理可得；
（Ⅱ）過D作DE⊥AB′，垂足為E，連接CE．由三垂線定理可知CE⊥AB′，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠CED是二面角B-AB′-C的平面角，在三角形CED中求出此角，而根據(jù)二面角A′-AB′-C與二面角B-AB'-C的大小互補即可求出二面角A′-AB′-C的大小；
（Ⅲ）過D作DF⊥CE，垂足為F，連接B′F，根據(jù)線面所成角的定義可知∠DB′F為直線B'D與平面AB'C所成的角，在直角三角形DB′F中求出此角的正弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為AC=BC，D是AB的中點，所以CD⊥AB．
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因為AB′?平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面ABB′A′．
過D作DE⊥AB′，垂足為E，連接CE．
由三垂線定理可知CE⊥AB′，
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角．
由已知可求得CD=

2

，DE=

2

3

，
所以tan∠CED=

CD

DE

=

6

2

．
所以二面角B-AB′-C的大小為arctan

6

2

．
由于二面角A′-AB′-C與二面角B-AB'-C的大小互補，
所以二面角A′-AB′-C的大小為π-arctan

6

2

．（10分）
（Ⅲ）過D作DF⊥CE，垂足為F，連接B′F．
由（Ⅱ）可證得AB′⊥平面CDE，所以AB′⊥DF，可證得DF⊥平面AB'C．
所以，∠DB′F為直線B'D與平面AB'C所成的角．
在直角三角形CDE中，可知CE=

30

3

，所以DF=

CD•DE

CE

=

2 5

5

．
在直角三角形BB′D中，可知B′D=3

2

．
在直角三角形DB′F中，sin∠DB′F=

DF

DB′

=

10

15

．
所以直線B'D與平面AB'C所成角的正弦值為

10

15

．（14分）

點評：本題主要考查了空間兩直線的位置關(guān)系，以及二面角及其度量和直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計算能力．