【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，軸，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，可得出點(diǎn)在橢圓上，將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得出，結(jié)合可求出的值，從而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，在軸時(shí)，可得出，從而求出的面積；在直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合，得出，計(jì)算出與的高，可得出面積的表達(dá)式，然后可利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出面積的最大值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題知，點(diǎn)，，

則有，，又，，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）當(dāng)軸時(shí)，位于軸上，且，

由可得，此時(shí)；

當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，

由，得.

，，從而

已知，可得.

.

設(shè)到直線的距離為，則，

.

將代入化簡(jiǎn)得.

令，

則.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的面積最大，最大值為.

綜上：的面積最大，最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，并且經(jīng)過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II） 設(shè)橢圓C短軸的上頂點(diǎn)為P，直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，若直線PA與直線PB的斜率的和為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出這個(gè)定點(diǎn)，否則說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，離心率為，短軸長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，過橢圓左焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若，，則

②若，，，則

③若，，則

④若，，則

其中正確命題的序號(hào)是（ ）

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡(jiǎn)．

案例：考察恒等式左右兩邊的系數(shù)．

因?yàn)橛疫?/span>，

所以，右邊的系數(shù)為，

而左邊的系數(shù)為，

所以＝．

（2）求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線的斜率為3，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）如果的解集中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過去大多數(shù)人采用儲(chǔ)蓄的方式將錢儲(chǔ)蓄起來，以保證自己生活的穩(wěn)定，考慮到通貨膨脹的壓力，如果我們把所有的錢都用來儲(chǔ)蓄，這并不是一種很好的方式，隨著金融業(yè)的發(fā)展，普通人能夠使用的投資理財(cái)工具也多了起來，為了研究某種理財(cái)工具的使用情況，現(xiàn)對(duì)年齡段的人員進(jìn)行了調(diào)查研究，將各年齡段人數(shù)分成組：，并整理得到頻率分布直方圖：

（1）求圖中的值；

（2）采用分層抽樣的方法，從第二組、第三組、第四組中共抽取人，則三個(gè)組中各抽取多少人？

（3）在（2）中抽取的人中，隨機(jī)抽取人，則這人都來自于第三組的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過點(diǎn)．

⑴求橢圓的方程；

⑵若在橢圓上有相異的兩點(diǎn)（三點(diǎn)不共線），為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，直線，直線的斜率滿足.

（ⅰ）求證： 是定值；

（ⅱ）設(shè)的面積為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．

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