Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=12，將舉行制品的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊AD上，記該點(diǎn)為E，且折痕MN的兩端點(diǎn)M、N分別位于邊AB，BC上，設(shè)∠MNB=θ，MN=l，△EMN的面積為S，
（1）將l表示成θ的函數(shù)，并確定θ的取值范圍；
（2）問(wèn)當(dāng)θ為何值時(shí)，△EMN的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：（1）將一個(gè)圖形折起，注意其中變與不變的量，表示出要用的量，根據(jù)兩條線段的長(zhǎng)度之和，寫(xiě)出關(guān)于l的方程，表示出結(jié)果，得到函數(shù)式．
（2）對(duì)函數(shù)式求導(dǎo)，根據(jù)換元時(shí)的自變量的值，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，解出自變量的值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）設(shè)將矩形紙片的右下角折起后，頂點(diǎn)B落在邊AD上的E處，則∠ENM=θ，∠EMA=2θ
從而有：NB=lcosθ，MB=ME=lsinθ，AM=MEcos2θ=lsinθcos2θ．
∵AM+MB=6，∴l(xiāng)sinθcos2θ+lsinθ=6，
得：l=

6

sinθ•(cos2θ+1)

=

3

sinθ•cos2θ

又BN≤12，BM≤6，∴

π

12

≤θ≤

π

4

，∴l(xiāng)=

3

sinθ•cos2θ

(

π

12

≤θ≤

π

4

)
（2）S=

1

2

l2sinθcosθ=

9

2

•

1

sinθcos3θ

(

π

12

≤θ≤

π

4

)，∴S2=

81

4

•

1

sin2θcos6θ

設(shè)t=cos2θ(

1

2

≤t≤

2+ 3

4

)，記f（t）=t³-t⁴∴f′（t）=3t²-4t³
令f′（t）=0，∴t=

3

4

∴t=

3

4

時(shí)，即θ=

π

6

時(shí)f（t）取得最大值為

27

256

，S去最小值為8

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，解三角形的應(yīng)用一般是求距離注意應(yīng)用三角形的邊與角．