Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，P是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是CD的中點(diǎn)，則P到平面AMD₁的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線間的夾角、距離,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出P到平面AMD₁的距離．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
P是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是CD的中點(diǎn)，
∴A（2，0，0），M（0，1，0），D₁（0，0，2），P（1，1，2），
∴

AM

=（-2，1，0），

AD1

=(-2，0，2)，

AP

=（-1，1，2），
設(shè)平面AMD₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AM =-2x+y=0 n • AD1 =-2x+2z=0

，
取x=1，得

n

=(1，2，1)，
∴P到平面AMD₁的距離d=

| n • AP |

| n |

=

|-1+2+2|

6

=

6

2

．
故答案為：

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．