Question

設函數f(x)=

lnx

1+x

-lnx+ln(x+1)．
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）是否存在實數a，使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區(qū)間，討論滿足fˊ（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）對a進行討論，當a≤0時，f（x）＞0恒成立，關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）符合題意．當a＞0時，關于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x(1+x)

-

lnx

(1+x)2

-

1

x

+

1

x+1

=-

lnx

(1+x)2

．（2分）
故當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．（4分）
由此知f（x）在（0，+∞）的極大值為f（1）=ln2，沒有極小值．（6分）
（Ⅱ）（�。┊攁≤0時，
由于f(x)=

(1+x)ln(1+x)-xlnx

1+x

=

ln(1+x)+x[ln(1+x)-lnx]

1+x

＞0，
故關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞）．（10分）
（ⅱ）當a＞0時，由f(x)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)知f(2n)=

ln2n

1+2n

+ln(1+

1

2n

)，其中n為正整數，且有ln(1+

1

2n

)＜

a

2

?

1

2n

＜e

n

2

-1?n＞-log2(e

n

2

-1)．（12分）
又n≥2時，

ln2n

1+2n

=

nln2

1+(1+1)n

＜

nln2

n(n-1) 2

=

2ln2

n-1

．
且

2ln2

n-1

＜

a

2

?n＞

4ln2

n

+1．
取整數n₀滿足n0＞-log2(e

n

2

-1)，n0＞

4ln2

a

+1，且n₀≥2，
則f(2n0)=

n0ln2

1+2n0

+ln(1+

1

2n0

)＜

a

2

+

a

2

=a，
即當a＞0時，關于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
綜合（�。�（ⅱ）知，存在a，使得關于x的不等式f（x）≥a的解集為（0，+∞），且a的取值范圍為（-∞，0]．

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．