Question

已知拋物線M：y²=4x，圓N：（x-1）²+y²=r²（其中r為常數(shù)，r＞0）．過點（1，0）的直線l交圓N于C、D兩點，交拋物線M于A、B兩點，且滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的必要條件是：下面哪一個是符合條件的

 

．
（1）r∈（0，1]
（2）r∈（1，2]
（3）r∈（

3

2

，4）
（4）r∈[

3

2

，+∞）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分l⊥x軸與l不與x軸垂直兩種情況討論，當l不與x軸垂直時，設直線l：x=my+1，與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），結(jié)合題意，可求得4

m2+1

=

2r

m2+1

，繼而可得r＞2，從而可得答案．

解答： 解：①當l⊥x軸時，過x=1與拋物線交于（1，土2），與圓交于（1，土r），滿足題設．
②當l不與x軸垂直時，設直線l：x=my+1，（1）
代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
△=16（m²+1），
把（1）代入：（x-1）²+y²=r²得y²=

r2

m2+1

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵|AC|=|BD|，
∴y₁-y₃=y₂-y₄，y₁-y₂=y₃-y₄，
∴4

m2+1

=

2r

m2+1

，
即r=2（m²+1）＞2，
即r＞2時，l僅有三條．
考查四個選項，只有D中的區(qū)間包含了（2，+∞）
故答案為：（4）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，求得r=2（m²+1）是關(guān)鍵，考查綜合運算能力，屬于難題．