Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-x+b（a，b均為正常數(shù)）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，a+b]內(nèi)至少有一個零點；
（2）設函數(shù)在x=

π

3

處有極值．
①對于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞

2

sin（x+

π

4

）恒成立，求b的取值范圍；
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f（0）＞0，f（a+b）≤0，即可判斷出；
（2）由于函數(shù)f（x）在x=

π

3

處有極值，可得f′(

π

3

)=0，解得a=2．可得f（x）=2sinx-x+b．
①

2

sin（x+

π

4

）=sinx+cosx，則不等式f（x）＞

2

sin（x+

π

4

）恒成立?b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，

π

2

]恒成立．記g（x）=x+cosx-sinx，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
②f′（x）=2cosx-1，由f′（x）≥0得-

π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）上是單調(diào)增函數(shù)，可得（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）⊆[-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈Z．解出即可．

解答： （1）證明：f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0，
∴函數(shù)f（x）在（0，a+b]內(nèi)至少有一個零點．
（2）解：f′（x）=acosx-1．
∵函數(shù)f（x）在x=

π

3

處有極值，
∴f′(

π

3

)=0，即acos

π

3

-1=0，解得a=2．
于是f（x）=2sinx-x+b．
①

2

sin（x+

π

4

）=sinx+cosx，
∴不等式f（x）＞

2

sin（x+

π

4

）恒成立?b＞x+cosx-sinx對一切x∈[0，

π

2

]恒成立．
記g（x）=x+cosx-sinx，則g′（x）=1-sinx-cosx=1-

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，從而

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1，
∴1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
∴g′（x）≤0，即g（x）在[0，

π

2

]上是減函數(shù)．
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范圍是（1，+∞）．
②f′（x）=2cosx-1=2(cosx-

1

2

)，
由f′（x）≥0得cosx≥

1

2

，即-

π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）⊆[-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈Z．
則有

m-1 3 π≥- π 3 +2kπ，k∈Z 2m-1 3 π≤ π 3 +2kπ，k∈Z m-1 3 π＜ 2m-1 3 π

   即

6k≤m≤3k+1 m＞0，k∈Z

．
只有k=0時，0＜m≤1適合，故m的取值范圍是（0，1]．

點評：本題考查了函數(shù)的零點存在判定定理、利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．