【題目】某高科技企業(yè)研制出一種型號為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價值的第一年）.若第 1 年A型車床創(chuàng)造的價值是250萬元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價值減少30萬元；從第7年開始，每年A型車床創(chuàng)造的價值是上一年價值的 50％.現(xiàn)用()表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價值.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記為數(shù)列的前n項的和，企業(yè)經(jīng)過成本核算，若 萬元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數(shù)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列）.

【答案】(1) ();(2)12

【解析】

(1)由題意可得:第1年至第6年時為遞減等差數(shù)列,易求;從第7年開始為以為首項,公比的等比數(shù)列,則可求得;

(2)由(1)知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則也是單調(diào)遞減數(shù)列,當時,易求100萬元;當時，通過計算判斷萬元,萬元,則可得第12年年初更換車床.

(1)由題意可得在第1年至第6年時數(shù)列為以為首項,公差的等差數(shù)列,所以可得在第7年開始數(shù)列是以為首項,公比的等比數(shù)列，則可求得,

綜上可得數(shù)列的通項公式 ();

(2)由(1)知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,則由題意得新數(shù)列即也是單調(diào)遞減數(shù)列,當時,（萬元）,所以前六年不用更換車床;

當時,

由（萬元）,（萬元）,且是單調(diào)遞減數(shù)列,可得當時,（萬元）恒成立,所以該企業(yè)必須在第12年年初更換車床.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左．右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形的邊長為 的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點．證明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問軸上是否存在異于點,的定點,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點,若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是某地區(qū)2012年至2018年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）的折線圖.

注：年份代碼分別表示對應年份.

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)（線性相關較強）加以說明；

（2）建立與的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2019年該區(qū)生活垃圾無害化處理量.

（參考數(shù)據(jù)），，，，，，.

（參考公式）相關系數(shù)，在回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點為雙曲線: 的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線C于點，且

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同交點P和Q且 （其中O為原點），求k的取值范圍;

（3）過雙曲線C上任意一點R作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為M,N，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中有如下正確結(jié)論：為曲線（、為非零實數(shù)，且不同時為負）上一點,則過點的切線方程為．

(1)已知為橢圓上一點,為過點的橢圓的切線，若直線與直線的斜率分別為與,求證：為定值；

(2)過橢圓上一點引橢圓的切線,與軸交于點．若為正三角形,求橢圓的方程；

(3)求與圓及(2)中的橢圓均相切的直線與坐標軸圍成的三角形的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線：命題：若存在，使得成立.

（1）如果命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2）如果“”為假命題，“”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若和梯形的面積都等于，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過點的動直線與圓：相交于、兩點，是中點，與直線：（為常數(shù)）相交于點.

（1）求證：當與垂直時，必過圓心；

（2）當時，求直線的方程；

（3）當直線的傾斜角變化時，探索的值是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓上.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓C上是否存在不同的兩點M,N關于直線對稱？若存在，請求出直線MN的方程，若不存在，請說明理由.

（3）設直線l不經(jīng)過點且與C相交于A,B兩點，若直線與直線的斜率之和為1，求證直線l必過定點，并求出這個定點坐標.

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