Question

9．設(shè)直線l₁：mx-2my-6=0與l₂：（3-m）x+my+m²-3m=0．
（1）若l₁∥l₂，求l₁，l₂之間的距離；
（2）若直線l₂與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）若l₁∥l₂，求出m的值，即可求l₁，l₂之間的距離；
（2）表示直線l₂與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積，配方法求出最大，即可求直線l₂的方程．

解答 解：（1）若l₁∥l₂，則$\frac{1}{2}=-\frac{3-m}{m}$，∴m=6，
∴l(xiāng)₁：x-2y-1=0，l₂：x-2y-6=0
∴l(xiāng)₁，l₂之間的距離d=$\frac{5}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$；
（2）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3-m＞0}\end{array}\right.$，∴0＜m＜3，
直線l₂與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}$m（3-m）=$-\frac{1}{2}（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{8}$，
∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S最大為$\frac{9}{8}$，此時(shí)直線l₂的方程為2x+2y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．