Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）當a=1時，判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性并用定義證明；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）當a=1，x＞1時，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=2x²+（x-1）² =3x²-2x+1，
則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：設1＜x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）==（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-2]，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞2，從而得3（x₁+x₂）-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，
故．
當x≤a時，f（x）=x²+2ax-a²，
．
綜上，．
分析：（1）當a=1，x＞1時，f（x）=3x²-2x+1，用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明它是增函數(shù)．
（2）當x≥a時，根據(jù)f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0兩種情況，求出f（x）的最小值．當x≤a時，根據(jù)f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0兩種情況，求出f（x）的最小值，
綜合可得結(jié)論．
點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明，求函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．