6．已知函數(shù)f（x）=4x2+2x+a+2，當x∈[1，+∞）時，f（x）≥2ax恒成立，求a的取值范圍．

分析 問題轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$在x∈[1，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：若x∈[1，+∞）時，f（x）≥2ax恒成立，
則a≤$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$在x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{{4x}^{2}+2x+2}{2x-1}$，只需求出g（x）的最小值即可；
由g′（x）=$\frac{{8x}^{2}-8x-6}{{（2x-1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，令g′（x）＜0，解得：1≤x＜$\frac{3}{2}$，
∴g（x）在[1，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）遞增，
∴g（x）最小值=g（$\frac{3}{2}$）=7，
∴a≤7．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，是一道中檔題．

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