Question

【題目】已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各個棱長都相等，E為BC的中點，動點F在CC1上，且不與點C重合
（1）當CC1=4CF時，求證：EF⊥A1C
（2）設二面角C﹣AF﹣E的大小為α，求tanα的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1，

由直棱柱的性質(zhì)可知，底面ABC⊥側(cè)面A1C，

∴EN⊥側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，

設正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各個棱長為4，

∵CC1=4CF，∴在直角三角形CNF中，CN=1，

則由 = = ，得NF∥AC1，

又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，

由三垂線定理可知EF⊥A1C

（2）解：連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME

由（I）可知EN⊥側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=α，

設∠FAC=θ，則0°＜θ≤45°，

在直角三角形CNE中，NE= ，

在直角三角形AMN中，MN=3sinθ

故tanα= ，又0°＜θ≤45°，∴0＜sinθ≤

故當θ=45°時，tanα達到最小值，

∴tanα的最小值為anα= ．

【解析】（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC1 ， 則EN⊥側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，設正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各個棱長為4，則CN=1，NF∥AC1 ， 推導出C1⊥A1C，NF⊥A1C，由此能證明EF⊥A1C．（2）連接AF，過N作NM⊥AF于M，連接ME，則EN⊥側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF，∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角由此能示出tanα的最小值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．