Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試判斷是否存在實(shí)數(shù)a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線y=1+ln

2

無(wú)公共點(diǎn)（其中自然對(duì)數(shù)的底數(shù)為無(wú)理數(shù)且=2.71828…）．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＞0即可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)a，故要解不等式需討論a的正負(fù)；
（2）先利用（1）中的結(jié)論，求a≥1時(shí)函數(shù)f（x）的最小值g（a），再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)g（a）的最大值大于1+ln

2

，從而說(shuō)明存在實(shí)數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于1+ln

2

，從而證明存在實(shí)數(shù)a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線y=1+ln

2

無(wú)公共點(diǎn)．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）．f′(x)=2x-a-

a

x-1

=

2x(x- a+2 2 )

x-1

，
①若a≤0，則

a+2

2

≤1，f′(x)=

2x(x- a+2 2 )

x-1

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）
②若a＞0，則

a+2

2

＞1，故當(dāng)x∈(1，

a+2

2

]時(shí)，f′(x)=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≤0；當(dāng)x∈[

a+2

2

，+∞)時(shí)，f′(x)=

2x(x- a+2 2 )

x-1

≥0，
∴a＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為(1，

a+2

2

]，f(x)的增區(qū)間為[

a+2

2

，+∞)．
（2）a≥1時(shí)，由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上的最小值為f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

．
設(shè)g(a)=f(

a+2

2

)=-

a2

4

+1-aln

a

2

，（ a≥1）
則g′(a)=-

a

2

-ln

a

2

-1，
∵g′(a)=-

a

2

-ln

a

2

-1在[1，+∞）上為減函數(shù)，∴g′（a）≤g′(1)=-

1

2

-ln

1

2

-1=-

3

2

+ln2＜0
∴g(a)=-

a2

4

+1-aln

a

2

在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（a）_max=g（1）=

3

4

+ln2，
∵

3

4

+ln2-1-ln

2

=

1

4

ln

4

e

＞0，∴g（a）_max＞1+ln

2

∴存在實(shí)數(shù)a（a≥1）使f（x）的最小值大于1+ln

2

，
故存在實(shí)數(shù)a（a≥1），使y=f（x）的圖象與直線y=1+ln

2

無(wú)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值的方法，分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法