Question

18．在下列函數(shù)中，圖象關于原點對稱且對任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0的是（　　）

• A． y=xsinx
• B． y=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$
• C． y=ln$\frac{1-x}{1+x}$
• D． y=x³+x

Answer 1

分析 若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，若對任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，則函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)；逐一分析給定四個函數(shù)的奇偶性和單調性，可得答案．

解答 解：若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，
若對任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，則函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)；
A中，函數(shù)y=xsinx為偶函數(shù)，不滿足條件；
B中，函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$為偶函數(shù)，不滿足條件；
C中，函數(shù)y=ln$\frac{1-x}{1+x}$為奇函數(shù)，但當x≥1時，解析式無意義，不滿足條件；
D中，函數(shù)y=x³+x為奇函數(shù)，y′=3x²+1＞0恒成立，故函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)，滿足條件；
故選：D

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，正確理解題目給定的兩個條件的含義，是解答的關鍵．