Question

一個(gè)口袋中裝有大小相同的n個(gè)紅球（n≠5且n∈N^*）和5個(gè)白球，紅球編號為1，2…n．白球編號為1，2，…5，每次從中任取兩個(gè)球，當(dāng)兩個(gè)球顏色不同時(shí)，則規(guī)定為中獎(jiǎng)．
（1）若一次取球中獎(jiǎng)的概率p，試求p的最大值及相應(yīng)的n值；
（2）若一次取球中獎(jiǎng)，且p取最大值，設(shè)取出的紅球編號為a，白球編號為b；記隨機(jī)變量X=|a-b|，求X的分布列、期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用等可能事件概率公式，求出一次取球中獎(jiǎng)的概率，利用基本不等式求p的最大值及相應(yīng)的n值；
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率值，即可求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）每次從n+5個(gè)球中任取兩個(gè)，有

C

2 n+5

種方法，它們是等可能的，其中兩個(gè)球的顏色不同的方法有

C

1 n

C

1 5

種，所以一次取球中獎(jiǎng)的概率為P=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

，n≠5且n∈N^*．
即p=

10

n+ 20 n +9

≤

10

18

=

5

9

，當(dāng)n=4或n=5時(shí)取等號，而n≠5
故p的最大值等于

5

9

及相應(yīng)的n的值為4．…（6分）
（2）由（1）知：袋中有紅球4個(gè)，白球5個(gè)，
∴a=1，2，3，4，b=1，2，3，4，5
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4
P(X=0)=

4

20

=

1

5

；P(X=1)=

7

20

；P(X=2)=

5

20

=

1

4

；P(X=3)=

3

20

； P(X=4)=

1

20

；
故X的分布列是：

X	0	1	2	3	4
P	1 5	7 20	1 4	3 20	1 20

…（10分）
∴E(X)=0×

1

5

+1×

7

20

+2×

1

4

+3×

3

20

+4×

1

20

=

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評：求隨機(jī)變量的分布列與期望的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率值．