Question

如圖，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是銳角），作AB₁⊥OB，B₁A₁∥BA；再作A₁B₂⊥OB，B₂A₂∥BA；如此無(wú)限連續(xù)作下去，設(shè)△ABB₁，△A₁B₁B₂，…的面積為S₁，S₂，…求無(wú)窮數(shù)列S₁，S₂，…的和．

Answer 1

分析：首先用a，b，θ表示出AB₁和BB₁進(jìn)而表示出△B₁AB，進(jìn)而表示出

Sn+1

Sn

，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{S_n}為等比數(shù)列，公比為(

b

a

cosθ)2根據(jù)其小于1，推斷此數(shù)列為遞縮等比數(shù)列．進(jìn)而通過(guò)數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和的極限求得答案．

解答：解：AB₁=bsinθ，BB₁=a-bcosθ
（對(duì)一切n≥1成立，此時(shí)視A₀B₀為AB）
∵△ABB₁∽△A₁B₁B₂∽△A₂B₂B₃∽，
S1= 

1

2

AB1BB1=

1

2

bsinθ（a-bcosθ），
∵△OAB₁∽△OA₁B₁∽△OA₂B₂…
∴

AnBn

An-1Bn-1

=

0Bn

OBn-1

= 

OAn-1cosθ

OBn-1

=

OA

OB

cosθ=

b

a

cosθ，
∴

Sn+1

Sn

=(

AnBn

An-1Bn-1

)2=(

b

a

cosθ)2，
即公比Q=(

b

a

cosθ)2．
∵θ是銳角，a≥b，
∴0＜(

b

a

cosθ)2＜1，
∴數(shù)列S₁，S₂，S₃，是無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，

lim

n→∞

(S1+S2+S3+Sn)=

S1

1-q

=

1 2 bsinθ(a-bcosθ)

1-( b a cosθ)2

=

a2bsinθ

2(a+bcosθ)

.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和問(wèn)題．做題的關(guān)鍵是從題設(shè)的條件中歸納出等比數(shù)列．