Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為AD₁中點
（I）求三棱錐C-PDB的體積
（II）在對角線A₁C上是否存在一點Q，使得AD₁∥平面QBD，若存在，求出

A1Q

QC

；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為AD₁中點，則V_C-PDB=C_P-BCD，求出棱錐的高和底面面積，代入棱錐體積公式即可求出答案；
（II）連接BC₁，DC₁，由線面平行的判定定理，易得AD₁∥平面BDC₁，則直線A₁C與平面BDC₁的交點即為Q，根據正方體的性質易得到

A1Q

QC

的值．

解答：解：（I）∵P為AD₁中點
故P點到底面ABCD的距離等于棱長的一半

1

2

又∵S_△BCD=

1

2

∵V_C-PDB=C_P-BCD=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

；
（II）連接BC₁，DC₁，
∵AD₁∥BC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁，
令A₁C∩平面BDC₁=Q
由正方體的幾何特征易得A₁C⊥平面BDC₁，
且A₁Q=2QC
故

A1Q

QC

=2

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定與性質，三棱錐的體積，其中（1）的關鍵是利用等體積法將求三棱錐C-PDB的體積，轉化為求三棱錐P-CDB的體積，（II）的關鍵是找到滿足條件的Q點的位置．