Question

兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)為：

數(shù)據(jù)	1	2	3	…	n
變量x	x1	x2	x3	…	xn
變量y	y1	y2	y3	…	yn

    將以上數(shù)據(jù)，以x為自變量，y為因變量，得回歸方程為=bx+a；將y為自變量，x為因變量，得回歸方程為=b′y+a′．

    定義兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為r=，它可表示兩個(gè)變量線性關(guān)系的強(qiáng)弱．

    試問(wèn)r能否用上述兩方程中的b,a與b′,a′表示？如能，怎樣表示？

   

Answer 1

思路解析：本題容易產(chǎn)生兩個(gè)錯(cuò)解：

    錯(cuò)解一：因?yàn)閮山M變量一旦確定后，兩組變量間的相關(guān)關(guān)系也隨之確定了，故r不是隨b,a，b′,a′的變化而變化的，于是r不能用b,a及b′,a′表示．

    錯(cuò)解二：因?yàn)閎為回歸方程的斜率，a為截距，斜率與截距的取值范圍均為R，而相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為［-1,1］，它們的取值范圍不一樣，因而r不能用b,a及b′,a′表示．

產(chǎn)生這種錯(cuò)解的原因是：當(dāng)變量確定后，r是隨之而確定了，但b,a及b′, a′也?隨之而定了，上述錯(cuò)解一中視以上四個(gè)系數(shù)在變化，因而誤認(rèn)為r與它們無(wú)關(guān)而發(fā)生了錯(cuò)誤．對(duì)于錯(cuò)解二，雖然對(duì)b與a及r的范圍的說(shuō)法均是正確的，但未曾注意到兩個(gè)方程之間的相關(guān)關(guān)系，即系數(shù)b,a與b′,a′并不是兩組完全獨(dú)立的變量，因而也造成了解答的錯(cuò)誤．

    解：在方程=bx+a中b=,在方程=b′y+a′中b′=,

于是bb′=. ==r².

故r=,

即r能用b,b′表示，且r=．