Question

若1，2，3，4，5的排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅具有性質(zhì)：對(duì)于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不構(gòu)成1，2，…，i的某個(gè)排列，則這種排列的個(gè)數(shù)是________．

Answer 1

70
分析：將5個(gè)數(shù)的所有的排法利用排列求出；將不具有性質(zhì)：對(duì)于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不構(gòu)成1，2，…，i的某個(gè)排列的排列通過分類討論的方法求出；利用總的排法減去不具有性質(zhì)的排法，求出值．
解答：1、總的排列數(shù)有A₅⁵種，用排除法
2、考慮對(duì)于1≤i≤4，a₁，a₂，…a_i為1，2，…i的某個(gè)排列的情況：
①當(dāng) i=4 時(shí)
即 a₁ a₂ a₃ a₄ 為1，2，3，4的某個(gè)排列，a₅=5，共有A₄⁴種可能
②當(dāng) i=3 時(shí)
即 a₁ a₂ a₃為1，2，3的某個(gè)排列，此處要考慮重復(fù)問題．即a₅ 必須不為5，否則會(huì)和 i=4 時(shí)重復(fù)．
故a₄=5，a₅=4，a₁ a₂ a₃任意排列，有 A₃³種可能
③當(dāng) i=2 時(shí)，a₅ 不為5，a₃不為3（否則和i=3重復(fù)），有
a₃=5時(shí)，a₁，a₂ 為1，2 的任意排列，a₄，a₅為3，4的任意排列，故有A₂²×A₂²=4種排列
a₄=5，a₅=3，a₃=4，此時(shí)有A₂²=2種
故 i=2時(shí)共有6種情況
④當(dāng) i=1 時(shí)，a₁=1，此時(shí)要滿足以下條件：
1、a₂ 不為 2
2、a₂=3 時(shí)，a₃ 不能為2（與i=3重復(fù)）
3、a₅ 必須不為5，否則將和i=4重復(fù)
這樣排列出來情況如下：
a₂=5，A₃³種
a₃=5，a₂ 不為2，有4種情況
a₄=5，a₅必須為2或3之間的一個(gè)，共2A₂²種
因而i=1時(shí)共有 14種情況
到此，結(jié)果就出來了：A₅⁵-A₄⁴-A₃³-6-14=70
故答案為：70
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用排列求完成事件的方法數(shù)、考查間接的方法求完成事件的方法數(shù)、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．