Question

已知f（x+1）=x²-4，等差數(shù)列{a_n}中，a1=f(x-1)，a2=-

3

2

，a₃=f（x），其中x＞0．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）求a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀的值．

Answer 1

分析：（I）首先根據(jù)所給的函數(shù)式f（x+1）=x²-4，求出f（x）的表達式，則可寫出數(shù)列的第二項和第三項，根據(jù)等差數(shù)列特點求出x的值；
（II）根據(jù)（I）求出通項公式，然后分別求出a₂，a₄，a₆，a₈，a₁₀的值，從而求出所求．

解答：解：（I）令t=x+1，則x=t-1．
∵f（x+1）=x²-4
∴f（t）=（t-1）²-4=t²-2t-3
即f（x）=x²-2x-3．…（3分）
∴a₁=f（x-1）=x²-4x…（4分）
∴a₃=f（x）=x²-2x-3…（5分）
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
∴2a2=a1+a3即2×(-

3

2

)=(x2-4x)+(x2-2x-3)
解得x=0或x=3…（7分）
又∵x＞0∴x=3即x的值是3．…（8分）
（Ⅱ）當(dāng)x=3時，a₁=-3，a₂=-

3

2

，∴a_n=

3

2

n-

9

2

，…（10分）
∴a₄=

3

2

，a6=

9

2

，a8=

15

2

，a10=

21

2

∴a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=

45

2

．…（13分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)，屬于中檔題．