Question

已知等差數列{a_n}的公差為d，前n項和為S_n，且S₃•S₅+30=0，
（1）若d=3，求數列{a_n}的通項公式
（2）若a₁∈R，求實數d的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把d=3代入S₃•S₅+30=0可得a₁的方程，解方程即可得通項公式；
（2）由S₃•S₅+30=0可得a₁²+4da₁+3d²+2=0，由△=（4d）²-4（3d²+2）≥0解不等式可得．

解答： 解：（1）當d=3時，由S₃•S₅+30=0可得
（3a₁+3×3）•（5a₁+3×10）+30=0，
解得a₁=-4或a₁=-5，
當a₁=-4時，數列{a_n}的通項公式為a_n=-4+3（n-1）=3n-7；
當a₁=-5時，數列{a_n}的通項公式為a_n=-5+3（n-1）=3n-8；
（2）由S₃•S₅+30=0可得（3a₁+3d）•（5a₁+10d）+30=0，
整理可得a₁²+4da₁+3d²+2=0，∵a₁∈R，
∴關于a₁的一元二次方程必滿足△=（4d）²-4（3d²+2）≥0
解不等式可得實數d的取值范圍為d≤-

2

或d≥

2

點評：本題考查等差數列的求和公式，涉及一元二次不等式的解集，屬中檔題．