Question

已知函數(shù)g（x）=

3

sinx-cosx，且f（x）=

3

3

g′（x）（g（x）+cosx）
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，f（x）函數(shù)的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a=

3

，b=

2

，f(A)=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把求出的導(dǎo)函數(shù)和g（x）代入到f（x）中，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）根據(jù)f（A）=

3

2

，把x=A代入第一問求出的f（x）的解析式中，得到的函數(shù)值等于1，得到sin（2A-

π

6

）的值，根據(jù)A的范圍得到2A-

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，然后利用正弦定理，由a，b及求出的sinA的值即可求出sinB的值，根據(jù)B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出C的度數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)g（x）=

3

sinx-cosx，得到g′（x）=

3

cosx+sinx，
代入f（x）得：f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，（3分）
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，
∴f（x）的值域[0，

3

2

]；（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

2

，
∴sin(2A-

π

6

)=1，
又∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，（10分）
∵sinB=

sinA

a

•b=

2

2

，又0＜B＜

2π

3

，
∴B=

π

4

∴C=π-

π

3

-

π

4

=

5π

12

．（14分）

點評：此題考查學(xué)生靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，靈活運用正弦定理化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時時刻注意角度的范圍．