Question

（09年長沙一中一模理）（13分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率為，點Q在橢圓C上且滿足條件：= 2， 2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

     （Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，∵e =，∴a = 2c

∴，．

又2      ∴cos∠F₁QF₂ =．

由|F₁F₂|² = |QF₁|² + |QF₂|² 2|QF|?|QF₂|cos∠F₁QF₂得a = 2，c = 1，b² = 3

∴橢圓C的方程為．          ……5分

（Ⅱ）依題意可知，點M為由點O向直線AB所作的垂線的垂足．

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

（1）當(dāng)x₁ = x₂時，直線OA、OB的斜率分別為±1，解方程組得x =±．

∴．                       ……6分

（2）當(dāng)x₁≠x₂時，設(shè)AB的直線方程為：y = kx + m，代入得

(3 + 4k²)x² + 8mkx + 4m² 12 = 0

x₁ + x₂ =，x₁?x₂ =          ……8分

∵，∴=

∴7m² = 12 (k² + 1)     ∴      ……11分

又∵．

綜上所述．                 ……13分