Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點為F（-c，0），F(xiàn)′（c，0），c＞0，過點F且平行于雙曲線漸近線的直線與拋物線y²=4cx交于點P，若點P在以FF′為直徑的圓上，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、聯(lián)立方程組，建立a，c的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，
雙曲線的右焦點為F'，由題意可知FF'為圓x²+y²=c²的直徑，
∴設(shè)P（x，y），（x＞0），則PF'⊥PF，且tan∠PFF'=$\frac{a}$，
∴滿足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{a}}\end{array}\right.$，
即有x²+4cx-c²=0，
則x=（-2±$\sqrt{5}$）c，
即x=（$\sqrt{5}$-2）c，或x=（-$\sqrt{5}$-2）c（舍去）
將x=（$\sqrt{5}$-2）c代入第三式，得$\frac{y}{（\sqrt{5}-1）c}$=$\frac{a}$，
即y=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，再將y代入第一式得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 熟練掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題運算量較大，綜合性較強．