Question

3．若非零向量$\vec a$與向量$\vec b$的夾角為鈍角，$|{\vec b}|=2$，且當$t=-\frac{1}{2}$時，$|{\vec b-t\vec a}|$（t∈R）取最小值$\sqrt{3}$．向量$\vec c$滿足$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$，則當$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值時，$|{\vec c-\vec b}|$等于（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 作出示意圖，尋找$|{\vec b-t\vec a}|$在何時取得最小值，計算出向量$\vec a$與向量$\vec b$的夾角及|$\overrightarrow{a}$|，由$（{\vec c-\vec b}）⊥（{\vec c-\vec a}）$可知$\vec c$的終點在一個圓周上，結合圖象，找出當$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值時C的位置，進行幾何計算即可求出．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{MC}$，如圖：
∵向量$\vec a$，$\vec b$的夾角為鈍角，
∴當$\vec a$與$\vec b-t\vec a$垂直時，$|{\vec b-t\vec a}|$取最小值$\sqrt{3}$，即$\vec a⊥（{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}）$．
過點B作BD⊥AM交AM延長線于D，則BD=$\sqrt{3}$，
∵|$\overrightarrow$|=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即$\vec a$與$\vec b$夾角為120°．
∵$\vec a⊥（{\vec b+\frac{1}{2}\vec a}）$，∴$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$）=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos120°+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²=0，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，即MA=2，
∵$（{\vec c-\vec a}）⊥（{\vec c-\vec b}）$，∴$\vec c$的終點C在以AB為直徑的圓O上，
∵O是AB中點，∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=2$\overrightarrow{MO}$，
∴當M，O，C三點共線時，$\vec c•（{\vec a+\vec b}）$取最大值，
∵AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴OB=0C=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，
∵MA=MB=2，O是AB中點，∴MO⊥AB，
∴∠BOC=∠MOA=90°，
∴|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$|=BC=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量在幾何中的應用，根據(jù)題目作出符合條件的圖形是關鍵．