Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）-x 在[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a≥

1

2

時，函數(shù)t（x）=f（x）+g（x）的圖象記為曲線C，曲線C 在點（0，1）處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值；（2）先求出曲線的切線方程，通過討論a的范圍，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）y′=

1

x+1

-1，因為0≤x≤1，所以y′≤0
所以y=g（x）-x在[0，1]上單調(diào)遞減．
當(dāng)x=1時，y取最小值為ln2-1．
故y=g（x）-x在[0，1]的最小值為ln2-1．
（2）函數(shù)t（x）的定義域為（-1，+∞），t′（x）=2ax-2+

1

x+1

，t′（0）=-1．
所以在切點P（0，1）處的切線l的斜率為-1．
因此切線方程為y=-x+1．
因此切線l與曲線C有唯一的公共點，所以，方程ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個實數(shù)解．顯然，x=0是方程的一個解，
令φ（x）=ax²-x+ln（x+1），則φ′（x）=2ax-1+

1

x+1

=

2ax[x-( 1 2a -1)]

x+1

．
當(dāng)a=

1

2

時，φ′（x）=

x2

x+1

≥0，于是，φ（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，即x=0是方程唯一的實數(shù)解．
當(dāng)a＞

1

2

時，由φ′（x）=0，得x₁=0，x₂=

1

2a

-1∈（-1，0）．
在區(qū)間（-1，x₂）上，φ′（x）＞0，在區(qū)間（x₂，0）上，φ′（x）＜0．
所以，函數(shù)φ（x）在x₂處有極大值φ（x₂），且φ（x₂）＞φ（0）=0．
而當(dāng)x→-1時，φ（x）→-∞，因此，φ（x）=0在（-1，x₂）內(nèi)也有一個解，矛盾．
綜上，得a=

1

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．