Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值；
（3）若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用導函數(shù)的幾何含義及切點的實質(zhì)建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）由題意，對于定義域內(nèi)任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值即可得解；
（3）由題意，若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，等價與函數(shù)在切點處導函數(shù)值等于切線的斜率這一方程有3解．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根據(jù)題意，得

f(1)=-2 f′(1)=0

即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

解得

a=1 b=0

所以f（x）=x³-3x．
（2）令f'（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
當x∈（-∞，-1）時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當x∈（-1，1）時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減
因為f（-1）=2，f（1）=-2，
所以當x∈[-2，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
則對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值為4．
（3）因為點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，所以可設(shè)切點為（x₀，y₀）．
則y₀=x₀³-3x₀．
因為f'（x₀）=3x₀²-3，所以切線的斜率為3x₀²-3．
則3x₀²-3=

x 3 0 -3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0．
因為過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
所以方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個不同的實數(shù)解．
所以函數(shù)g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點．
則g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2．
當x∈（-∞，0）時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；當x∈（0，2）時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
所以，函數(shù)g（x）在x=0處取極大值，在x=2處取極小值，有方程與函數(shù)的關(guān)系知要滿足題意必須滿足：

g(0)＞0 g(2)＜0

，即

6+m＞0 -2+m＜0

，解得-6＜m＜2．

點評：（1）此題重點考查了導數(shù)的幾何含義及函數(shù)切點的定義，還考查了數(shù)學中重要的方程的思想；
（2）此題重點考查了數(shù)學中等價轉(zhuǎn)化的思想把題意最總轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值；
（3）此題重點考查了數(shù)學中導數(shù)的幾何含義，還考查了函數(shù)解的個數(shù)與相應方程的解的個數(shù)的關(guān)系．