Question

6．設(shè)f（x）＜0是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，通過$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0化為[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，可判斷函數(shù)y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，即[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0恒成立，
所以$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（2）=0，
所以在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集：（-∞，-2）∪（0，2）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常可利用導(dǎo)函數(shù)來判斷．屬于中檔題．