Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+{b^2}$x，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則使函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)的概率為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）有極值，得到f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，求出a，b的關(guān)系，根據(jù)古典概型求出概率即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+{b^2}$x有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=x²+2ax+b²有兩個(gè)不同的根，
即判別式△=4a²-4b²＞0，
即當(dāng)a＞b，該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
a從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)的基本事件有9種，
滿足a＞b的基本事件有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6種，
故函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為P=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，利用函數(shù)取得極值的條件求出對(duì)應(yīng)a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．